空间向量破解立体几何

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I. 核心溯源与直观

• 本质定位： 空间向量与平面垂直，核心工具是“建系 + 法向量 + 点积”。
• 直观理解： 正方体底面里的对角线 $BD$，同时压住了底面对角线 $AC$ 和竖直线 $PA$，所以它自然就戳穿了平面 $PAC$，喵。

II. 标准解题流程

• 条件梳理：

  • 底面 $ABCD$ 是边长为 $3$ 的正方形；
  • $PA\perp$ 平面 $ABCD$，且 $PA=\sqrt{5}$；
  • $M$ 在线段 $PC$ 上运动；
  • 求三问。

• 建系：

  取

  $$A(0,0,0),B(3,0,0),D(0,3,0),C(3,3,0),P(0,0,\sqrt{5})$$

• (1) 证明 $BD\perp$ 平面 $PAC$：

  计算

  $$\overrightarrow{BD}=(-3,3,0),\overrightarrow{AC}=(3,3,0),\overrightarrow{AP}=(0,0,\sqrt{5})$$

  有

  $$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AC}=(-3)\cdot 3+3\cdot 3=0$$ $$\overrightarrow{BD}\cdot \overrightarrow{AP}=0$$

  所以 $BD\perp AC$，且 $BD\perp AP$。

  又 $AC,AP$ 都在平面 $PAC$ 内，且交于 $A$，因此

  $$BD\perp \text{平面 }PAC$$

  (💡 思路：一条直线若同时垂直于平面内两条相交直线，就垂直于这个平面。)

• (2) 求二面角 $P-BD-A$ 的余弦值：

  二面角 $P-BD-A$ 是平面 $PBD$ 与平面 $ABD$ 的夹角，平面 $ABD$ 就是底面。

  取平面 $PBD$ 的法向量：

  $${\vec{n}}_1=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BP}$$

  其中

  $$\overrightarrow{BP}=(-3,0,\sqrt{5})$$

  计算得

  $${\vec{n}}_1=(3\sqrt{5},3\sqrt{5},9)$$

  底面法向量可取

  $${\vec{n}}_2=(0,0,1)$$

  所以

  $$\cos \angle (PBD,ABD)=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{9}{\sqrt{18+81}}=\frac{3}{\sqrt{11}}$$

• (3) 设直线 $PC$ 与平面 $BDM$ 所成的角为 $\theta$：

  令

  $$t=\frac{PM}{PC}\in [0,1]$$

  则

  $$M=P+t(C-P)=(3t,3t,\sqrt{5}(1-t))$$

  先取直线 $PC$ 的方向向量

  $$\vec{u}=\overrightarrow{PC}=(3,3,-\sqrt{5})$$

  再取平面 $BDM$ 的法向量：

  $$\vec{n}=\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BM}$$

  其中

  $$\overrightarrow{BM}=(3t-3,3t,\sqrt{5}(1-t))$$

  计算得

  $$\vec{n}=(3\sqrt{5}(1-t),3\sqrt{5}(1-t),9(1-2t))$$

  于是

  $$\vec{u}\cdot \vec{n}=9\sqrt{5}$$ $$|\vec{u}|=\sqrt{23}$$ $$|\vec{n}|=\sqrt{171-504t+414t^2}$$

  直线与平面的夹角满足

  $$\sin \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}=\frac{9\sqrt{5}}{\sqrt{23}\sqrt{171-504t+414t^2}}$$

  完成平方：

  $$171-504t+414t^2=414{\left(t-\frac{14}{23}\right)}^2+\frac{405}{23}$$

  所以分母最小时，$\sin \theta$ 最大。

  因而

  $$\sin {\theta }_{\max }=1\Rightarrow {\theta }_{\max }=90^{\circ }$$

  此时

  $$t=\frac{14}{23}$$

  现在令 $\theta$ 等于二面角 $P-BD-A$，即

  $$\sin \theta =\sin \angle (PBD,ABD)=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{\sqrt{11}}\right)}^2}=\sqrt{\frac{2}{11}}$$

  代入得

  $$\frac{9\sqrt{5}}{\sqrt{23}\sqrt{171-504t+414t^2}}=\sqrt{\frac{2}{11}}$$

  解得

  $$t=\frac{28\pm 9\sqrt{5}}{46}$$

  其中

  $$\frac{28+9\sqrt{5}}{46}>1$$

  不合题意，舍去。

  所以唯一可取的是

  $$t=\frac{28-9\sqrt{5}}{46}$$

  从而

  $$PM:MC=t:(1-t)=(28-9\sqrt{5}):(18+9\sqrt{5})$$

III. 易错点警示

• 常见陷阱： 第 $(1)$ 问不是证明 $BD\perp$ 平面 $ABC$，而是要证 $BD\perp$ 平面 $PAC$。
• 方向混淆： 第 $(2)$ 问的二面角是“平面与平面”的夹角，别误当成线面角。
• 参数失误： 第 $(3)$ 问里 $t=\frac{PM}{PC}$，不是 $\frac{MC}{PC}$。
• 边界检验： 解出 $t=\frac{28+9\sqrt{5}}{46}$ 时要立刻检查是否落在 $[0,1]$，不合题意必须舍去。
• 特例提醒： 直线与平面的夹角最大只能到 $90^{\circ }$，所以一旦算出可达，就直接是最大值。

IV. 变式与延伸

• 条件微调： 如果底面不是正方形而是矩形，第 $(1)$ 问一般就不再自动成立，因为对角线未必互相垂直。
• 多解可能： 第 $(3)$ 问本质上是“定向量与变法向量”的最值问题，也可以用判别式或配方做，不必死磕几何图形。
• 错误方向： 不要硬做纯几何构造；这题最稳的是坐标法，一次性把三问打通。

V. 高阶视角（工具提升）

• 工具引入： 这类题的统一模型是：
  • 垂直关系看点积；
  • 平面关系看法向量；
  • 线面角看“方向向量 vs 法向量”。
• 对比演示： 第 $(3)$ 问看似最烦，其实只是在调一个参数 $t$，让 $$\sin \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}$$ 尽量大。因为分子不变，只需把 $|\vec{n}|$ 压到最小，答案立刻跳出来，喵。

VI. 总结与建议

• 核心结论： 这题的本质是把空间几何转成向量运算，所有结论都从“垂直、夹角、最值”统一出来。
• 推荐复习： 重点回顾“线面垂直判定”“二面角的求法”“线面角公式”“参数点法”这四块。

如果你要，我可以把这题再压成“考场速写版”，只保留最关键的几行公式。